10789. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 24 и 40, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.
Ответ. 512.
Решение. Пусть BH
— высота равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями BC=24
и AD=40
, а BD\perp AB
. Тогда (см. задачу 1921)
AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{40-24}{2}=8,~DH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{40+24}{2}=32.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу (см. задачу 2728), поэтому
BH=\sqrt{AH\cdot DH}=\sqrt{8\cdot32}=16.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=DH\cdot BH=32\cdot16=512.