10797. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Медиана BM
треугольника равна его высоте CH
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Опустим перпендикуляр MF
из точки M
на прямую AB
. Тогда MF
— средняя линия прямоугольного треугольника ACH
, поэтому
MF=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}BM.
Катет MF
прямоугольного треугольника BMF
вдвое меньше гипотенузы BM
, поэтому
\angle ABM=\angle FBM=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABC.
Медиана BM
треугольника ABC
является его биссектрисой, значит, треугольник ABC
равнобедренный, а так как один из его углов равен 60^{\circ}
, он равносторонний.