10799. Серединный перпендикуляр к диагонали AC
прямоугольника ABCD
пересекает сторону BC
и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр прямоугольника ABCD
, M
и N
— точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AC
со сторонами BC
и AD
соответственно. Диагонали четырёхугольника AMCN
делятся точкой пересечения O
пополам, значит, AMCN
— параллелограмм, а так как точка M
равноудалена от концов отрезка AC
— это ромб.
Пусть K
— точка пересечения OB
и AM
. Обозначим,
\angle AMO=\angle CMO=\angle AOB=\alpha.
Тогда
\angle OAK=\angle OAM=90^{\circ}-\alpha,~
\angle AKO=180^{\circ}-\angle OAK-\angle AOK=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-\alpha=90^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle OBC=\angle OCB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{\alpha}{2},~
\angle BOM=\angle CMO-\angle OBC=\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}
Значит, треугольник BMO
равнобедренный, MO=MD
, а AM
серединный перпендикуляр к отрезку BO
. Тогда OB=OA=AB
, т. е. треугольник AOB
равносторонний. Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.