10811. Из точки O
, лежащей внутри остроугольного треугольника ABC
, на стороны AB
, BC
и AC
опущены перпендикуляры OO_{1}
, OO_{2}
и OO_{3}
соответственно. Докажите, что \angle AOC=\angle O_{3}O_{1}A+\angle O_{3}O_{2}C
.
Решение. Из точек O_{1}
и O_{3}
отрезок OA
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA
. Вписанные в эту окружность углы O_{3}O_{1}A
и O_{3}OA
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle O_{3}O_{1}A=\angle O_{3}OA
. Аналогично \angle O_{3}O_{2}C=\angle O_{3}OC
. Следовательно,
\angle AOC=\angle O_{3}OA+\angle O_{3}OC=\angle O_{3}O_{1}A+\angle O_{3}O_{2}C.