10815. Каждая из пяти прямых, пересекающих стороны BC
и AD
квадрата ABCD
, разбивает его на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2:3
. Докажите, что по крайней мере три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно, а некоторая прямая пересекает стороны BC
и AD
в точках X
и Y
соответственно. Тогда четырёхугольники ABXY
и CDYX
— прямоугольные трапеции с равными высотами (равными стороне квадрата). Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий, т. е. MZ:ZN
, где Z
— точка пересечения отрезков MN
и XY
. Значит, либо MZ:ZN=2:3
, либо MZ:ZN=3:2
. По условию таких прямых пять, следовательно, по крайней мере три из них проходят через одну и ту же точку Z
отрезка MN
.