10821. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 21. Параллельно этой стороне через точку пересечения медиан проведена хорда. Отрезки хорды, расположенные вне треугольника, равны 8 и 11. Найдите неизвестные стороны треугольника.
Ответ. 30 и 33.
Решение. Пусть сторона BC
треугольника ABC
равна 21, M
— точка пересечения медиан, K
— середина стороны BC
, C_{1}
и B_{1}
— точки пересечения прямой, проходящей через точку M
параллельно BC
, со сторонами AB
и AC
соответственно, P
и Q
— точки пересечения этой прямой с окружностью, описанной около треугольника ABC
(точка C_{1}
между P
и M
).
Треугольник AC_{1}B_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AM}{AK}=\frac{2}{3}
(см. задачу 1207), поэтому
C_{1}B_{1}=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot21=14,~AC_{1}=2C_{1}B,~AB_{1}=2B_{1}C.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AC_{1}\cdot C_{1}B=PC_{1}\cdot C_{1}Q,~\mbox{или}~2C_{1}B^{2}=8(14+11),
откуда CB_{1}=10
. Следовательно, AB=3CB_{1}=30
. Аналогично находим, что AC=33
.