10831. Восстановите треугольник ABC
по точкам B
и C
, основанию L
биссектрисы, проведённой из вершины A
, и основанию высоты, проведённой из этой же вершины.
Решение. Предположим, искомый треугольник ABC
построен. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}
, поэтому вершина A
лежит на окружности Аполлония для данных точек B
и C
и данного отношения \frac{BL}{LC}
(см. задачу 2444), т. е. на окружности с диаметром LQ
, где Q
— основание биссектрисы внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
. С другой стороны, точка A
лежит на прямой, проходящей через точку H
перпендикулярно BC
. Отсюда вытекает следующее построение.
Пусть BL\gt LC
. На продолжении отрезка BC
за точку C
по данным отрезкам BL
, LC
и BC
строим такую точку Q
, для которой \frac{BQ}{QC}=\frac{BL}{LC}
(см. задачи 1645 и 2608), Затем на отрезке LQ
как на диаметре строим окружность. Через данную точку H
проводим прямую, перпендикулярную BC
. Если эта прямая пересекает построенную окружность, то каждая точка пересечения есть вершина A
искомого треугольника ABC
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.