10836. На стороне прямого угла с вершиной N
даны две точки A
и B
. Постройте на второй стороне угла такую точку C
, что \angle ACB=2\angle BCN
.
Решение. Пусть точка B
лежит между A
и N
. На продолжении отрезка BN
за точку N
отложим отрезок NB_{1}=BN
. Тогда
\angle BCB_{1}=2\angle BCN=\angle ACB,
т. е. CB
— биссектриса треугольника ACB_{1}
. Значит, \frac{AC}{CB_{1}}=\frac{AB}{BB_{1}}
, причём последнее отношение определено положением точек A
и B
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим окружность Аполлония для данного отрезка AB_{1}
и отношения \frac{AB}{BB_{1}}
(см. задачу 1826). Точка пересечения построенной окружности со второй стороной угла есть искомая точка X
.
Примечание. См. также статью Г.Филипповского «Досье на окружность Аполлония», Квант, 2004, N4, с.34-37.