10844. Пусть внутри описанного четырёхугольника ABCD
расположены окружности \omega_{a}
и \omega_{c}
, вписанные в углы BAD
и BCD
. Известно, что точка B
лежит на одной из двух общих внутренних касательных к окружностям \omega_{a}
и \omega_{c}
. Докажите, что точка D
также лежит на общей внутренней касательной к \omega_{a}
и \omega_{c}
(другой, если касательных две).
Решение. Пусть P
— такая точка, лежащая на одном из отрезков AD
и DC
, что BP
— общая внутренняя касательная окружностей \omega_{a}
и \omega_{c}
. Считаем, что прямая BP
отлична от прямой BD
(иначе см. задачу 5213), и пусть для определённости P
лежит на отрезке DC
(рис. 2). Проведём касательную DQ
к окружности \omega_{c}
(Q
— точка на стороне BC
). Пусть R
— точка пересечения прямых BP
и DQ
, а прямые BP
, DQ
, BC
и DC
касаются окружности \omega_{c}
в точках X
, Y
, Z
, T
соответственно. Четырёхугольник ABCD
описанный, поэтому
BA+DC=BC+DA,~\mbox{или}~BA-DA=BC-DC.
Используя равенство отрезков касательных, проведённых из одной точки, получим, что
BR-DR=BX-DY=BZ-DT=BC-DC.
Из равенств
BA-DA=BC-DC,~BR-DR=BC-DC
следует, что
BR-DR=BA-DA,~\mbox{или}~BR+DA=BA+DR.
Значит, четырёхугольник ABRD
описанный. Следовательно, DQ
— общая касательная к окружностям \omega_{a}
и \omega_{c}
.
Примечание. См. также статью Н.Белухова и П.Кожевникова «Четырёхугольники и ломаные», Квант, 2010, N1, с.45.