10848. Дан треугольник ABC
, в котором AC\ne BC
. На этих сторонах отложили отрезки AD_{1}
и BC_{1}
, соответственно равные биссектрисам AD
и BE
треугольника ABC
. Оказалось, что D_{1}E_{1}\parallel AB
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть стороны BC
, AC
и BC
равны a
, b
и c
соответственно, а противолежащие им углы — \alpha
, \beta
и \gamma
. Тогда
\angle ADB=180^{\circ}-\alpha-\frac{\beta}{2},~\angle AEB=180^{\circ}-\beta-\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов из треугольников ADB
и AEB
получаем
\frac{AD}{AB}=\frac{\sin\beta}{\sin\left(180^{\circ}-\alpha-\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{\sin\beta}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)},
\frac{BE}{AB}=\frac{\sin\alpha}{\sin\left(180^{\circ}-\beta-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{\sin\alpha}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)},
откуда
AD=\frac{AB\sin\beta}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{c\sin\beta}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)},
BE=\frac{AB\sin\beta}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{c\sin\alpha}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}.
Кроме того, из параллельности D_{1}E_{1}\parallel AB
по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AD_{1}}{BE_{1}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
Значит,
\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AD_{1}}{BE_{1}}=\frac{AD}{BE}=\frac{\frac{c\sin\beta}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}}{\frac{c\sin\alpha}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}}=\frac{AD}{BE}={\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}},
откуда
\frac{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}=1,\mbox{или}~\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)=\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right),
а так как \alpha\ne\beta
, то
\alpha+\frac{\beta}{2}+\beta+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}.
Следовательно,
\alpha+\beta=120^{\circ}~\Rightarrow~\gamma=60^{\circ}.