10858. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
. Точки M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Окружность, проходящая через вершины B
и C
, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках P
и Q
соответственно, причём точка P
лежит между B
и M
, а точка Q
— между C
и N
.
а) Докажите, что точки P
, Q
, M
и N
лежат на одной окружности.
б) Найдите PM
и QN
, если известно, что AQ\perp BQ
, AB=8
, BC=1
, CD=10
, AD=7
.
Ответ. PM=3
, QN=4{,}8
.
Решение. а) Четырёхугольник BCQP
вписанный, а MN\parallel BC
, поэтому
\angle MPQ=180^{\circ}-\angle BPQ=\angle BCQ=180^{\circ}-\angle MNQ.
Следовательно, четырёхугольник MPQN
также вписанный. Что и требовалось доказать.
б) Аналогично предыдущему докажем, что четырёхугольник APQD
тоже вписанный. Следовательно, по теореме о вписанных углах
\angle BAQ=\angle PAQ=\angle QDP=\angle CDP.
Также по теореме о вписанных углах
\angle ABQ=\angle PBQ=\angle PCQ=\angle PCD,
а так как по доказанному \angle BAQ=\angle CDP
, то
\angle CPD=\angle AQB=90^{\circ},
т. е. треугольник CPD
тоже прямоугольный с прямым углом при вершине P
. Следовательно, его медиана PN
равна половине гипотенузы CD
, т. е. PN=\frac{1}{2}CD=5
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекает AD
в точке E
. Тогда
CE=AB=8,~DE=AD-AE=AD-BC=7-1=6.
Треугольник CDE
со сторонами DE=6
, CE=8
и CD=10
прямоугольный, значит, трапеция ABCD
прямоугольная с прямыми углами при вершинах A
и B
.
Поскольку MN\parallel AD
, угол PMN
прямой, значит, PN
— диаметр окружности, описанной около четырёхугольника MPQN
. По теореме о средней линии трапеции
MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{1+7}{2}=4.
Следовательно,
PM=\sqrt{PN^{2}-MN^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3.
Треугольник QMN
равнобедренный, так как
MQ=\frac{1}{2}AB=4=MN.
Из прямоугольного треугольника CED
находим, что
\cos\angle CDE=\frac{DE}{CD}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},
а так как \angle QNM=\angle CDE
, то
QN=2MN\cos\angle QNM=2\cdot4\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}=4{,}8.