10860. Вершина P
равностороннего треугольника APD
лежит внутри параллелограмма ABCD
. Расстояния от точки P
до прямых AB
, BC
и CD
равны соответственно 10, 3 и 6. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ. \frac{28}{\sqrt{3}}
; \frac{119}{4\sqrt{3}}
.
Решение. Обозначим AD=BC=x
, AB=CD=y
. Пусть M
— середина стороны AD
, а A_{1}
и D_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые AB
и CD
соответственно. Тогда треугольник A_{1}MD_{1}
также равносторонний (см. задачу 1358), поэтому
MA_{1}=A_{1}D_{1}=PA_{1}+PD_{1}=10+6=16.
По теореме косинусов из треугольника PMA_{1}
получаем, что
\frac{x\sqrt{3}}{2}=PM=\sqrt{PA_{1}^{2}+MA_{1}^{2}-2PA_{1}\cdot MA_{1}\cos60^{\circ}}=\sqrt{100+256-10\cdot16}=14,
откуда x=\frac{28}{\sqrt{3}}
.
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на проведённую к ней высоту, значит,
x\cdot(14+3)=y\cdot16,
откуда y=\frac{119}{4\sqrt{3}}
.