10868. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Касательная к окружности S_{2}
, проведённая в точке A
, вторично пересекает окружность S_{1}
в точке A_{1}
, а касательная к окружности S_{1}
, проведённая в точке B
, вторично пересекает окружность S_{2}
в точке B_{1}
. Докажите, что AB_{1}\parallel A_{1}B
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть C
— точка пересечения прямых AA_{1}
и BB_{1}
. Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что
\angle CBA_{1}=\angle CAB=\angle A_{1}AB=\angle AB_{1}B.
Значит, AB_{1}\parallel A_{1}B
. Аналогично для любого другого случая.