10882. В квадрате ABCD
на стороне BC
взята точка M
, а на стороне CD
— точка N
так, что \angle MAN=45^{\circ}
. Докажите,что расстояние от точки A
до прямой MN
равно стороне квадрата.
Решение. Первый способ. Пусть E
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на прямую MN
(рис. 1). Луч CA
— биссектриса угла при вершине C
прямоугольного треугольника MCN
, и при этом
\angle AMN=45^{\circ}=90^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MCN.
Таким же условиям удовлетворяет и центр вневписанной окружности треугольника MCN
, касающейся стороны MN
. Значит, точка A
и есть этот центр (см. примечание к задаче 4770). Следовательно, AE=AB=AD
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. При повороте с центром A
на угол 90^{\circ}
против часовой стрелки (рис. 2) вершина D
переходит в B
, прямая DC
— в прямую BC'
, ей перпендикулярную DC
, поэтому образ N'
точки N
будет лежать на отрезке BC'
. Углы MAN'
и MAN
равны, так как \angle NAN'=90^{\circ}
, поэтому треугольник AMN'
равен треугольнику AMN
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, равны и их соответствующие высоты, т. е. AE=AB
.
Третий способ. «Перегнём» квадрат по прямым AM
и AN
. Поскольку \angle BAM+\angle DAN=\angle MAN
и AB=AD
, то после перегибания отрезки AB
и AD
совместятся (рис. 3). Кроме того, \angle ABM=\angle ADN=90^{\circ}
, значит, из точки, в которой оказались вершины B
и D
, отрезки AM
и AN
видны под прямым углом, а этому условию удовлетворяет только точка E
— основание высоты AE
треугольника AMN
. Следовательно, AE=AB=AD
.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.