10883. Окружность с центром на диагонали AC
квадрата ABCD
проходит через вершину A
и пересекает стороны BC
и CD
в точках M
и N
, не симметричных относительно AC
. Докажите, что \angle MAN=45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Центр O
данной окружности \Omega
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN
. Рассмотрим описанную окружность \omega
прямоугольного треугольника MCN
(рис. 1). Биссектриса CA
его угла при вершине C
и серединный перпендикуляр к стороне MN
пересекаются в середине дуги MN
, не содержащей точки C
(см. задачу 1734), т. е. в точке O
. Следовательно, точка O
лежит на окружности \omega
. Тогда
\angle MON=180^{\circ}-\angle MCN=180^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ},
а так как MON
— центральный угол окружности \Omega
, то
\angle MAN=\frac{1}{2}\angle MON=45^{\circ}.
Второй способ. Пусть E
и F
— проекции точки O
на стороны BC
и CD
соответственно (рис. 2). Тогда OE=OF
, а так как OM
и ON
— радиусы одной окружности, то прямоугольные треугольники OEM
и OFN
равны по гипотенузе и катету. Обозначим \angle MOE=\angle NOF
. Тогда
\angle MON=\angle MOE+\angle EON=\angle NOF+\angle EON=90^{\circ}
(точки M
и N
не симметричны относительно прямой AC
). Значит, углы при основании MN
равнобедренного прямоугольного треугольника MON
равны 45^{\circ}
.
Обозначим \angle OAN=\angle ONA=\alpha
. Тогда \angle ANM=45^{\circ}+\alpha
, а по теореме о внешнем угле треугольника \angle AND=45^{\circ}+\alpha
, т. е. \angle ANM=\angle AND
. Значит, луч NA
— биссектриса внешнего угла при вершине N
треугольника MCN
, а так как CA
— биссектриса его внутреннего угла при вершине C
, то A
— центр вневписанной окружности прямоугольного треугольника MCN
. Следовательно (см. задачи 1192 и 4770),
\angle MAN=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MCN=45^{\circ}.
Третий способ. Диагональ AC
квадрата является как его осью симметрии, так и осью симметрии данной окружности, поэтому точка N'
, симметричная N
относительно AC
, является ещё одной точкой пересечения окружности со стороной BC
(рис. 3). Поскольку NN'\perp AC
, то \angle CNN'=45^{\circ}
. Четырёхугольник AMNN'
вписанный, следовательно,
\angle MAN=\angle CN'N=45^{\circ}.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.