10884. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
выбраны точки M
и N
соответственно так, что \angle MAN=45^{\circ}
. Диагональ BD
пересекает отрезки AM
и AN
в точках P
и Q
соответственно, E
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на прямую MN
. Докажите, что отрезки MQ
, NP
и AE
пересекаются в одной точке.
Решение. Точки A
, B
, M
и Q
лежат на одной окружности, так как \angle MAQ=\angle MBQ=45^{\circ}
. Кроме того, \angle ABM=90^{\circ}
, значит, AM
— диаметр этой окружности, поэтому \angle AQM=90^{\circ}
, т. е. MQ
— высота треугольника MAN
. Аналогично, точки A
, D
, N
и P
лежат на окружности с диаметром AN
, а NP
— высота треугольника MAN
. Учитывая, что AE
— ещё одна высота того же треугольника, получим, что указанные в условии отрезки пересекаются в точке H
— ортоцентре треугольника MAN
.
Примечание. 1. Отметим, что на обеих рассмотренных окружностях лежит также и точка E
, т. е. общая хорда AE
рассмотренных окружностей перпендикулярна MN
. Кроме того, высоты MQ
и NP
треугольника MAN
равны отрезкам AQ
и AP
соответственно (так как \angle MAN=45^{\circ}
).
2. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.