10900. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
, BC
и CA
в точках K
, P
и M
соответственно. Через точку P
проведён диаметр PD
. Известно, что \angle BDC=90^{\circ}
и BC=a
. Найдите AK
и AM
.
Ответ. \frac{a}{3}
.
Решение. Обозначим
AK=AM=x,~BK=BP=y,~CP=CM=z.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, p
— полупериметр, S
— площадь треугольника ABC
. Тогда p=x+y+z
.
Отрезок DP
— высота прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BP\cdot PC=DP^{2}
, или yz=4r^{2}
. Кроме того, y+z=BC=a
.
Поскольку
S=\sqrt{(x+y+z)xyz}~\mbox{и}~S=(x+y+z)r
(см. задачи 2730 и 452), то
\sqrt{(x+y+z)xyz}=(x+y+z)r~\Leftrightarrow~\sqrt{xyz}=r\sqrt{x+y+z}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2r\sqrt{x}=r\sqrt{x+a}~\Leftrightarrow~4x=x+a~\Leftrightarrow~x=\frac{a}{3}.