10901. В прямоугольном треугольнике ABC
проведены биссектрисы AP
и BQ
из вершин острых углов. Затем проведены медианы CM
и CN
треугольников APC
и CBQ
. Докажите, что в пятиконечной звезде MNPCQ
сумма углов при вершинах M
и N
равна сумме углов при остальных трёх вершинах.
Решение. Сумма углов при всех пяти вершинах пятиконечной звезды равна 180^{\circ}
(см. задачу 1108). Положим \angle BAC=2\alpha
, \angle ABC=2\beta
. Отрезок CM
— медиана прямоугольного треугольника ACP
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому треугольник AMC
равнобедренный (см. задачу 1109), а CMP
— его внешний угол, поэтому
\angle CMP=\angle CAM+\angle ACM=\alpha+\alpha=2\alpha.
Аналогично, \angle CNQ=2\beta
, а так как 2\alpha+2\beta=90^{\circ}
, то сумма остальных трёх углов пятиконечной звезды MNPCQ
равна 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}
, т. е. сумме углов звезды при вершинах M
и N
.