10902. На стороне AD
параллелограмма ABCD
взята точка M
, а на сторонах AB
и CD
— точки P
и Q
соответственно, причём отрезки PM
и QM
параллельны диагоналям параллелограмма. Докажите, что треугольники PBM
и QCM
равновелики.
Решение. Из параллельности прямых MQ
и AC
получаем, что \frac{DQ}{DC}=\frac{DM}{DA}
, а из параллельности прямых MP
и BD
— \frac{BP}{BA}=\frac{DM}{DA}
, поэтому \frac{DQ}{DC}=\frac{BP}{BA}=\frac{BP}{DC}
. Значит, DQ=BP
. Следовательно, точки P
и Q
симметричны относительно центра O
параллелограмма, т. е. O
— середина отрезка PQ
.
Высоты треугольников PBM
и POM
, опущенные на общее основание MP
, равны, так как BO\parallel MP
. Значит, эти треугольники равновелики. Аналогично, равновелики треугольники QCM
и QOM
, а так как MO
— медиана треугольника PMQ
, то равновелики и треугольники POM
и QOM
. Следовательно, треугольники PBM
и QCM
равновелики.
Примечание. См. также статью А.Блинкова «Равновеликость от Произволова», Квант, 2020, N9, с.29-33.