10912. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота BH
. Точки M
и N
— середины отрезков AH
и CH
соответственно. В окружности \Omega
, описанной около треугольника BMN
, проведён диаметр BB'
. Докажите, что AB'=CB'
.
Решение. Пусть O
— центр окружности \Omega
. Тогда O
— середина диаметра BB'
. Обозначим через H'
и P
проекции точек B'
и O
соответственно на прямую AC
. Точка O
лежит на серединном перпендикуляре к MN
, значит, что P
— середина MN
. Точка O
— середина BB'
, поэтому P
— середина HH'
(см. задачу 1939). Значит, точки H
и H'
симметричны относительно середины MN
. Тогда HM=H'N
и H'M=HN
, поэтому
AH'=AM+H'M=HM+H'M=H'N+HN=H'N+CN=CH'.
Таким образом, B'H'
— серединный перпендикуляр к отрезку AC
. Следовательно, AB'=CB'
.