10922. Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка. Может ли оказаться, что из этих отрезков возможно сложить треугольник?
Ответ. Не может.
Решение. Пусть CL
— биссектриса, CH
— высота треугольника ABC
, причём \angle A\lt\angle B
. Тогда BC\lt CA
.
Первый способ. По условию, точка H
лежит на стороне AB
, поэтому угол B
острый. Поскольку
\angle BCH=90^{\circ}-\angle B\lt90^{\circ}-\angle A=\angle ACH,
то точка H
лежит на отрезке BL
. Из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) следует, что
BH+HL=BL\lt LA,
т. е. для отрезков BH
, HL
и LA
не выполнено неравенство треугольника.
Второй способ. Биссектриса треугольника лежит между медианой и высотой (см. задачу 3522), поэтому
AL\gt\frac{1}{2}AB\gt LH+HB,
что противоречит неравенству треугольника.