10927. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=AC
) точка M
— середина высоты CH
. Прямая, проходящая через точку C
и перпендикулярная прямой AC
, пересекает прямую, проходящую через точку A
и параллельную прямой BC
, в точке P
. Докажите, что точки B
, M
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Построим прямоугольный треугольник APD
, симметричный треугольнику APC
относительно AP
. Луч AP
— биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
, поэтому точка D
лежит на прямой AB
(см. задачу 1174), причём DA=AC=AB
.
Пусть прямые DP
и BC
пересекаются в точке E
. Отрезок AP
— средняя линия треугольника BDE
, так как BA=AD
и AP\parallel BE
. Значит, DP=PE
. Прямоугольные треугольники BHC
и BDE
гомотетичны с центром в точке B
, поэтому середины отрезков CH
и ED
лежат на одной прямой с точкой B
, т. е. точки M
, P
и B
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно заметить, что в построенной конструкции прямые DP
и CP
— касательные к окружности, описанной около треугольника BCD
. Тогда (см. например, статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39) BP
— симедиана треугольника BCD
.
Также можно показать, что прямые CH
и CD
— антипараллели в угле CBD
, поэтому прямая BP
содержит медиану треугольника BHC
.