10933. Найдите площадь треугольника ABC
, в котором \cos\angle ABC-\cos\angle ACB=\frac{11}{16}
, AB=4
, AC=5
.
Ответ. \frac{5\sqrt{15}}{4}
.
Решение. Построим на AC
такую точку D
, что BD=DC
. Тогда треугольник BDC
равнобедренный и
\angle ABD=\angle ABC-\angle ACB.
Обозначив BD=DC=x
, получим AD=5-x
. По теореме косинусов
AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cos\angle ABD,~\mbox{или}~(5-x)^{2}=4^{2}+x^{2}-2\cdot4\cdot x\cdot\frac{11}{16},
откуда находим, что BD=DC=x=2
.
В треугольнике ABD
известны стороны AB=4
, BD=2
, AD=5-x=1
. По формуле Герона
S_{\triangle ABD}=\sqrt{\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}}=\frac{3\sqrt{15}}{4}.
Следовательно (см. задачу 3000),
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}\cdot\frac{AC}{AD}=\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5\sqrt{15}}{4}.