10937. Даны два одинаково ориентированных квадрата ABCD
и AEFG
. Отрезок DE
— диагональ третьего квадрата DMEN
, причём точки N
и C
лежат по одну сторону от прямой DE
. Докажите, что N
— середина отрезка CF
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим квадрат DEPQ
(вершины P
и Q
расположены по ту же сторону от прямой DE
, что и точка B
). Тогда середина O
отрезка CF
— центр этого квадрата (см. задачу 10936). Значит, OD=OE
и \angle BOE=90^{\circ}
. Следовательно, точка O
совпадает с вершиной N
квадрата DMEN
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим квадраты ABCD
и DMEN
. Отрезки AM
и CN
равны и перпендикулярны (см. задачу 10935). Рассмотрим квадраты AEFG
и DMEN
. Аналогично, отрезки AM
и FN
равны и перпендикулярны. Значит, точки C
, N
и F
лежат на одной прямой, причём N
— середина CF
.
Примечание. 1. Верно и обратное: если N
— середина отрезка CF
, то отрезки ND
и NE
равны и перпендикулярны.
2. Верно также следующее утверждение: одна из вершин квадрата с диагональю BG
— середина отрезка CF
.
3. См. статью Е.Бакаева «Комбинации квадратов», Квант, 2018, N7, с.22-26.