10938. Докажите, что в любом четырёхугольнике ABCD
(в том числе, и в невыпуклом или вырожденном)
AB\cdot CD+BC\cdot AD\geqslant AC\cdot BD.
Решение. Пусть точки B'
, C'
и D'
лежат на лучах AB
, AC
и AD
, причём
AB'=\frac{1}{AB},~AC'=\frac{1}{AC},~AD'=\frac{1}{AD}.
Тогда
\frac{AB'}{AC}=\frac{1}{AB\cdot AC}=\frac{AC'}{AB}
поэтому треугольники AB'C'
и ACB
подобны с коэффициентом \frac{1}{AB\cdot AC}
. Значит, B'C'=\frac{BC}{AB\cdot AC}
. Аналогично,
C'D'=\frac{CD}{AC\cdot AD},~B'D'=\frac{BD}{AB\cdot AD}.
По неравенству треугольника
B'C'+C'D'\geqslant B'D',~\mbox{или}~\frac{BC}{AB\cdot AC}+\frac{CD}{AC\cdot AD}\geqslant\frac{BD}{AB\cdot AD}.
Следовательно,
AB\cdot CD+BC\cdot AD\geqslant AC\cdot BD.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда точки B'
, C'
и D'
лежат на одной прямой, т. е.
\angle B'C'A+\angle D'C'A=180^{\circ}.
Это равносильно тому, что сумма углов B
и D
данного четырёхугольника равна 180^{\circ}
, т. е. вписанный.