10943. В трапеции ABCD
проекция диагонали AC
на основание AD
равна средней линии, а диагонали AC
и BD
перпендикулярны. Найдите боковые стороны трапеции, если AD=a
, BC=b
.
Ответ. \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Решение. Пусть a\gt b
, а CH=\frac{a+b}{2}
— проекция диагонали AC
на основание AD=a
. Тогда
DH=AD-AH=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}.
Через вершину C
параллельно BD
проведём прямую до пересечения с прямой AD
в точке P
. Тогда \angle ACD=90^{\circ}
и
DP=BC=b,~HP=DP+DH=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}=AH.
Высота CH
треугольника ACP
является его медианой, значит, прямоугольный треугольник ACP
равнобедренный, AC=CP=BD
, а трапеция ABCD
равнобокая, так как её диагонали равны (см. задачу 1915). Значит, AB=CD
. Высота CH
(она же медиана) треугольника ACP
равна \frac{1}{2}AP=\frac{a+b}{2}
. Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
CD=\sqrt{CH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}.