10956. В треугольнике ABC
вписанная окружность касается стороны BC
в точке D
. Пусть J_{b}
и J_{c}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABD
и ACD
соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника AJ_{b}J_{c}
лежит на биссектрисе угла BAC
.
Решение. Окружности, вписанные в треугольники ABD
и ACD
, касаются отрезка AD
в одной и той же точке X
(см. задачу 708), поэтому J_{b}J_{c}\perp AD
.
Обозначим через O
центр описанной окружности треугольника AJ_{b}J_{c}
. Тогда, учитывая, что AJ_{c}
— биссектриса угла DAC
получим, что
\angle J_{b}AO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOJ_{b}=90^{\circ}-\angle AJ_{c}J_{b}=\angle XAJ_{c}=\frac{1}{2}\angle DAC,
а так как AJ_{b}
— биссектриса угла BAD
, то
\angle BAO=\angle BAJ_{b}+\angle J_{b}AO=\frac{1}{2}\angle BAD+\frac{1}{2}\angle DAC=\frac{1}{2}BAC,
откуда следует утверждение задачи.