10977. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно, точка L
— середина отрезка A'B'
. Докажите, что угол ALB
— тупой.
Решение. Обозначим AB=c
, BC=a
, CA=b
, \angle ACB=\gamma
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Известно, что CA'=CB'=p-a
(см. задачу 219) и CL
— биссектриса угла ACB
, поэтому
CL=CA'\cos\angle A'CL=(p-c)\cos\frac{\gamma}{2}.
Применяя теорему косинусов к треугольникам ACL
и BCL
, получим, что
AL^{2}=b^{2}+(p-c)^{2}\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-2b(p-c)\cos^{2}\frac{\gamma}{2}
BL^{2}=a^{2}+(p-c)^{2}\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-2a(p-c)\cos^{2}\frac{\gamma}{2}.
Тогда
AL^{2}+BL^{2}-AB^{2}=b^{2}+a^{2}+2(p-c)^{2}\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-2(p-c)(a+b)\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-c^{2}=
=2(p-c)^{2}\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-2(p-c)(a+b)\cos^{2}\frac{\gamma}{2}=
=2(p-c)\cos^{2}\frac{\gamma}{2}(p-c-a-b)=-2p(p-c)\cos^{2}\frac{\gamma}{2}\lt0.
Значит, AL^{2}+BL^{2}\lt AB^{2}
. Следовательно, угол ALB
— тупой (см. задачу 4004).