10983. Точка O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Прямая BO
вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P
.
а) Докажите, что \angle POC=\angle PCO
.
б) Найдите площадь треугольника APC
, если радиус описанной около треугольника ABC
окружности равен 8, \angle ABC=60^{\circ}
.
Ответ. 16\sqrt{3}
.
Решение. а) Обозначим углы при вершинах B
и C
треугольника ABC
через \beta
и \gamma
соответственно. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис треугольника,
\angle BCO=\angle ACO=\frac{\gamma}{2},~\angle ACP=\angle ABP=\angle CBP=\frac{\beta}{2}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle POC=\angle BCO+\angle CBP=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2},
а так как
\angle PCO=\angle ACO+\angle ACP=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2},
то \angle POC=\angle PCO
.
б) Пусть R=8
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Треугольник APO
равнобедренный, PC=PO
, так как \angle POC=\angle PCO
. Аналогично докажем, что треугольник AOP
тоже равнобедренный, PA=PO
. Значит, PA=PC
. По теореме синусов
PA=PC=2R\sin\angle CBP=16\sin30^{\circ}=8.
а так как четырёхугольник ABCP
вписанный, то
\angle APC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}PA\cdot PC\sin\angle APC=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\sin120^{\circ}=16\sqrt{3}.