10993. В прямоугольник ABCD
вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом \alpha
при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC
, а концы основания — на отрезках AB
и CD
. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.
Решение. Пусть KLM
— один из таких треугольников, O
— середина его основания KM
. Тогда LO
— медиана, а значит, и биссектриса, и высота треугольника KLM
. Поскольку углы KBL
и LOK
прямые, точки B
и O
лежат на окружности с диаметром KL
, поэтому
\angle KBO=\angle KLO=\frac{\alpha}{2}.
Аналогично получаем, что
\angle MCO=\angle MLO=\frac{\alpha}{2}.
Тогда O
— точка пересечения прямых, проведённых через вершины B
и C
под углом \frac{\alpha}{2}
к сторонам соответственно BA
и CD
прямоугольника, а значит, она не зависит от положения треугольника KLM
.