10994. Расстояния от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника?
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
— последовательные вершины шестиугольника, O
— точка внутри него, и пусть OA=OB=1
, OC=2
. Рассмотрим другую соседнюю с A
вершину F
. Тогда FABC
— равнобедренная трапеция. Точка O
лежит на общем серединном перпендикуляре её оснований FC
и AB
, поэтому OF=OC=2
. Но FC=2AB
(в правильном шестиугольнике главная диагональ в два раза больше стороны), поэтому треугольники AOB
и FOC
подобны с коэффициентом 2.
Поскольку AB
и FC
параллельны и \angle BAO=\angle OCF
, точка O
лежит на диагонали AC
(и, аналогично, на диагонали BF
). Тогда
\angle OBC=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ},~\mbox{и}~BC=\sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}
по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC
.