1100. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
и углом при вершине B
, равным 36^{\circ}
, проведена биссектриса AD
. Докажите, что треугольники CDA
и ADB
равнобедренные.
Указание. Вычислите углы указанных треугольников.
Решение. Поскольку
\angle BAC=\angle BCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-36^{\circ})=72^{\circ},
\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot72^{\circ}=36^{\circ}=\angle ABC,
то треугольник ADB
— равнобедренный.
Поскольку
\angle DAC=\angle BAD=36^{\circ},~\angle ACD=72^{\circ},
то
\angle ADC=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}.
Следовательно, треугольник ADC
— равнобедренный.