11009. Окружности \Omega_{1}
и \Omega_{1}
касаются друг друга внешним образом в точке C
и касаются внутренним образом окружности \Omega
в точках A
и B
. Прямая AB
вторично пересекает окружность \Omega_{1}
в точке D
. Докажите, что \angle BCD=90^{\circ}
.
Решение. Пусть O
, O_{1}
, O_{2}
— центры окружностей \Omega
, \Omega_{1}
, \Omega_{2}
соответственно. Тогда точки O_{1}
и O_{2}
расположены на сторонах равнобедренного треугольника AOB
. Треугольник AO_{1}D
также равнобедренный, поэтому \angle ADO_{1}=\angle ABO
, значит, O_{1}D\parallel OB
.
Пусть прямая DC
пересекает вторично окружность \Omega_{2}
в точке E
. Поскольку точка C
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, из равнобедренных треугольников DO_{1}C
и EO_{2}C
получаем, что
\angle EDO_{1}=\angle O_{1}CD=\angle O_{2}CE=\angle O_{2}ED.
Значит, O_{1}D\parallel O_{2}E
. (Эту параллельность можно получить и по-другому, рассматривая гомотетию с центром C
, переводящую окружность \Omega_{1}
в окружность \Omega_{2}
.)
Таким образом, точка E
лежит на прямой BO_{2}
. Значит, BE
— диаметр окружности \Omega_{2}
, и \angle BCE=90^{\circ}
. Следовательно, \angle BCD=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.