11013. На биссектрисе угла, равного \gamma
, взята точка K
, причём точки C
и K
лежат по разные стороны от прямой MN
. Пусть P
и Q
— проекции точки K
на CM
и CN
. Докажите, что условия \angle MKN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
и MN=PM+QN
равносильны.
Решение. Первый способ. Рассмотрим поворот вокруг точки K
на угол \angle PKQ=180^{\circ}-\gamma
. Прямоугольный треугольник KPM
при этом переходит в прямоугольный треугольник KQL
, где L
— такая точка на луче CQ
, что QL=PM
. Тогда
\angle MKL=\angle MKQ+\angle QKL=\angle MKQ+\angle PKM=180^{\circ}-\gamma,
NL=NQ+QL=NQ+PM.
Докажем, что каждое из этих условий равносильно равенству треугольников MKN
и LKN
.
Пусть \angle MKN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
. Тогда
\angle LKN=\angle MKL-\angle MKN=(180^{\circ}-\gamma)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=
=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\angle MKN,
а так как KM=KL
(из поворота), то треугольники MKN
и LKN
равны по двум сторонам и углу между ними.
Обратно, если треугольники MKN
и LKN
равны, то
\angle MKN=\angle LKN=\frac{1}{2}\angle MKL=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Значит, условие \angle MKN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
равносильно равенству треугольников MKN
и LKN
.
Очевидно, что условие MN=NQ+PM
также равносильно равенству треугольников MKN
и LKN
. Следовательно, условия \angle MKN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
и MN=PM+QN
равносильны.
Второй способ. Пусть \angle MKN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
, а точка K_{1}
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
. Тогда
\angle MK_{1}N=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\angle MKN
(см. задачу 4770). При этом точки K
и K_{1}
лежат на биссектрисе угла MCN
в одной полуплоскости относительно прямой MN
, значит, они совпадают. Тогда K
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
, а P
и Q
— точки касания этой окружности с прямыми CM
и CN
. Следовательно, если T
— точка касания со стороной MN
, то
MN=MT+TN=MP+QN.
Обратно, пусть MN=PM+QN
. Тогда, если p
— полупериметр треугольника MCN
, то
CP+CQ=(CM+MP)+(CN+QN)=
=CN+CM+(MP+QN)=CN+CM+MN=2p,
а так как CQ=CP
, то CP=p
. С другой стороны, если P_{1}
— точка касания вневписанной окружности треугольника MCN
с продолжением стороны CN
, то CP_{1}=p
(см. задачу 4805). Значит, точки P
и P_{1}
совпадают. Аналогично для точки Q
. Следовательно, K
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
, касающейся стороны MN
, и тогда (см. задачу 4770)
\angle MKN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Примечание. См. также статью Э.Готмана и В.Дубровского: «О свойствах центра вневписанной окружности», Квант, 1989, N9, с.38-39.