11018. Пусть точка O
внутри треугольника ABC
такова, что \overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}
, где K
, M
, N
— основания перпендикуляров, опущенных из O
на стороны AB
, BC
, CA
треугольника. Докажите неравенство
\frac{OK+OM+ON}{AB+BC+CA}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Решение. Пусть отрезки OK
, OM
, ON
перпендикулярны сторонам AB
, BC
, CA
соответственно.
Сумма указанных в условии векторов равна нулевому вектору, поэтому отрезки OK
, OM
, ON
можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник. После поворота на 90^{\circ}
стороны этого треугольника станут параллельными сторонам треугольника ABC
, значит, эти треугольники подобны. Пусть коэффициент подобия равен k
:
\frac{OK}{AB}=\frac{OM}{BC}=\frac{ON}{CA}=k.
Тогда левая часть доказываемого неравенства равна k
.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, а AB=c
, AC=b
и CA=a
. Тогда
2S=c\cdot OK+b\cdot ON+a\cdot OM=a\cdot ka+b\cdot kb+c\cdot kc=k(c^{2}+b^{2}+a^{2}).
Значит,
\frac{OK+OM+ON}{AB+BC+CA}=\frac{kc+ka+kb}{a+b+c}=k=\frac{2S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства
\frac{2S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{3}},~\mbox{или}~S\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\sqrt{3}}.
Далее см. задачу 3227(б).
Примечание. Точка O
в этой задаче определена однозначно. Это точка Лемуана треугольника ABC
, т. е. точка пересечения его симедиан (прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис).