11026. Окружность с диаметром на стороне BC
треугольника ABC
касается сторон AC
и AB
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что высота AH
треугольника ABC
лежит на биссектрисе угла MHN
.
Решение. Пусть O
— центр полуокружности. Из точек M
, N
и H
отрезок AO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA
. Вписанные в эту окружность углы AHM
и AHN
опираются на равные хорды AM
и AN
(отрезки касательных, проведённых к данной полуокружности из точки A
), поэтому эти углы равны. Следовательно, луч HA
— биссектриса угла MHN
.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Метод вспомогательных точек», Квант, 1996, N2, с.36-39.