11027. В прямоугольном треугольнике ABC
(\angle C=90^{\circ}
) проведена высота CH
. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей образовавшихся прямоугольных треугольников BHC
и AHC
. Докажите, что биссектриса угла ACB
перпендикулярна отрезку I_{1}I_{2}
.
Решение. Пусть I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей прямоугольных треугольников BHC
и AHC
соответственно.
Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис, поэтому
\angle I_{1}CI_{2}=\frac{1}{2}\angle ACB=45^{\circ}.
Пусть биссектриса угла ABC
пересекает отрезок CI_{2}
в точке D
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CI_{1}D=\angle CBI_{1}+\angle BCI_{1}=\frac{1}{2}(\angle CBH+\angle BCH)=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Значит,
\angle CDI_{1}=180^{\circ}-\angle I_{1}CD-\angle CI_{1}D=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно, I_{1}D
— высота треугольника I_{1}CI_{2}
. Аналогично, если E
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с отрезком CI_{1}
, то I_{2}C
— также высота треугольника I_{1}CI_{2}
.
Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Тогда I
— точка пересечения высот треугольника I_{1}CI_{2}
. Следовательно, биссектриса угла ACB
перпендикулярна I_{1}I_{2}
.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Метод вспомогательных точек», Квант, 1996, N2, с.36-39.