11030. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=70^{\circ}
, \angle B=50^{\circ}
. Точка M
лежит внутри треугольника, причём \angle MAC=\angle MCA=40^{\circ}
. Найдите угол BMC
.
Ответ. 140^{\circ}
.
Указание. См. задачу 2900.
Решение. По теореме о сумме углов треугольника
\angle ACB=180^{\circ}-70^{\circ}-50^{\circ}=60^{\circ}.
Треугольник AMC
равнобедренный, поэтому
\angle AMC=180^{\circ}-2\cdot40^{\circ}=100^{\circ}=2\angle ABC.
Точки B
и C
лежат по одну сторону от прямой AC
, при этом MA=MC
и \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AMC
, значит, точки A
, B
и C
лежат на окружности с центром M
и радиусом MB=MC=MA
(см. задачу 2900), т. е. на описанной окружности треугольника ABC
.
Треугольник BMC
равнобедренный, поэтому
\angle MBC=\angle MCB=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}.
Следовательно,
\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot20^{\circ}=140^{\circ}.
Примечание. См. также статью Д.Изаака «Выручает описанная окружность», Квант, 1987, N2, с.41-42.