11040. Докажите, что треугольник является гармоническим (т. е. одна из его сторон есть среднее гармоническое двух других) тогда и только тогда, когда треугольник, составленный из его высот, разностный (т. е. одна из его сторон есть среднее арифметическое двух других).
Решение. Пусть стороны треугольника площади S
равны a
, b
и c
, а опущенные на них высоты — h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
соответственно. Тогда
h_{b}=\frac{h_{a}+h_{c}}{2}~\Leftrightarrow~\frac{2S}{b}=\frac{S}{a}+\frac{S}{c}~\Leftrightarrow~\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}~\Leftrightarrow~b=\frac{2ac}{a+c}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.