11049. Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до сторон угла A
треугольника ABC
пропорциональны отрезкам AB
и AC
.
Ответ. Луч, содержащий симедиану AS
треугольника.
Решение. Пусть X
— произвольная точка, лежащая на симедиане AS
треугольника ABC
, X_{b}
и X_{c}
— её проекции на лучи AC
и AB
соответственно, SD
и SE
— высоты треугольников ASB
и ASC
соответственно. Тогда
\frac{XX_{c}}{XX_{b}}=\frac{SD}{SE}=\frac{\frac{2S_{\triangle ASB}}{AB}}{\frac{2S_{\triangle ASC}}{AC}}=\frac{S_{\triangle ASB}}{S_{\triangle ASC}}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{BS}{CS}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AC}
(см. задачу 4121).
Обратно, пусть X
— точка внутри угла BAC
, для которой \frac{XX_{c}}{XX_{b}}=\frac{AB}{AC}
, S
— точка пересечения луча AX
со стороной BC
, D
и E
— проекции точки S
на лучи AB
и AC
соответственно.
Тогда из подобия треугольников DAS
и X_{c}AX
и треугольников EAS
и X_{b}AX
, получаем, что
\frac{SD}{SE}=\frac{XX_{c}}{XX_{b}}=\frac{AB}{AC}.
Значит,
\frac{SB}{SC}=\frac{2S_{\triangle BAS}}{2S_{\triangle CAS}}=\frac{AB\cdot SD}{AC\cdot SE}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{SD}{SE}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}.
Следовательно, AS
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 11048). Отсюда следует утверждение задачи.