11053. Пусть X
— точка внутри остроугольного треугольника ABC
, для которой \angle BAX=\angle ACX
и \angle CAX=\angle ABX
. Докажите, что точка X
лежит на симедиане треугольника ABC
.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
. Пусть луч AX
пересекает сторону BC
в точке S
. Треугольники AXB
и CXA
подобны по двум углам. Тогда, если XP
и XQ
— их высоты, а SD
и SE
— высоты треугольников ASB
и ASC
соответственно, то \frac{XP}{XQ}=\frac{AB}{AC}
и \frac{SB}{SC}=\frac{XP}{XQ}
. Значит,
\frac{SB}{SC}=\frac{S_{\triangle ASB}}{S_{\triangle ASC}}=\frac{AB\cdot SD}{AC\cdot SE}=\frac{c}{b}\cdot\frac{SD}{SE}=\frac{c}{b}\cdot\frac{XP}{XQ}=\frac{c}{b}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\cdot\frac{c}{b}=\frac{c^{2}}{b^{2}}.
Следовательно, AS
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 11048).
Примечание. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.