11054. Вписанный четырёхугольник, у которого произведения противоположных сторон равны, называется гармоническим. Докажите, что диагональ AD
вписанного четырёхугольника ABDC
содержит симедиану треугольника ABC
тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABDC
гармонический.
Указание. См. задачу 11048.
Решение. Пусть диагонали четырёхугольника ABDC
пересекаются в точке S
, а BM
и CN
— высоты треугольников ABD
и ACD
, опущенные на общую сторону AD
. Тогда, если AS
— симедиана треугольника ABC
, то
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{BM}{CN}=\frac{BS}{CS}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}
(см. задачу 11048). С другой стороны, четырёхугольник ABDC
вписанный, поэтому \sin\angle ABD=\sin\angle ACD
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AB\cdot DB\sin\angle ABD}{AC\cdot DC\sin\angle ACD}=\frac{AB\cdot DB}{AC\cdot DC}.
Значит,
\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{AB\cdot DB}{AC\cdot DC},
откуда
\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}.
Следовательно, AB\cdot DC=AC\cdot DB
, т. е. четырёхугольник ABDC
гармонический.
Обратно, пусть четырёхугольник ABDC
гармонический. Тогда
AB\cdot DC=AC\cdot DB~\Rightarrow~\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\frac{BS}{CS}=\frac{BM}{CN}=\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AB\cdot DB}{AC\cdot DC}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}.
Следовательно (см. задачу 11048), AS
— симедиана треугольника ABC
.
Примечание. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.