11058. Вписанный четырёхугольник, у которого произведения противоположных сторон равны, называется гармоническим. Докажите, что биссектрисы углов A
и D
вписанного четырёхугольника ABDC
пересекаются на диагонали BC
тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABDC
гармонический.
Указание. См. задачи 1509 и 1510.
Решение. Пусть биссектрисы углов A
и D
пересекают диагональ BC
в точках K
и K_{1}
соответственно. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BK}{CK}=\frac{AB}{AC},~\frac{DB}{DC}=\frac{BK_{1}}{CK_{1}}.
Пусть биссектрисы углов A
и D
вписанного четырёхугольника ABDC
пересекаются на диагонали BC
, т. е. точки K
и K_{1}
совпадают. Тогда \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}
, откуда получаем, что AB\cdot DC=AC\cdot BD
, т. е. четырёхугольник ABDC
гармонический.
Пусть вписанный четырёхугольник ABDC
гармонический. Тогда AB\cdot DC=AC\cdot BD
, откуда получаем, что \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}
. Значит, \frac{BK}{CK}=\frac{BK_{1}}{CK_{1}}
. Следовательно, точки K
и K_{1}
совпадают, т. е. биссектрисы углов A
и D
вписанного четырёхугольника ABDC
пересекаются на диагонали BC
.
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.