11077. Точка C
лежит на стороне AD
треугольника ABD
с тупым углом при вершине B
, причём BC\perp AB
. Найдите AC
, если CD=AB=1
и \angle CBD=30^{\circ}
.
Ответ. \sqrt[{3}]{{2}}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через вершину D
параллельно BC
, пересекает продолжение стороны AB
в точке E
. Обозначим AC=x
.
По теореме Фалеса
\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC},~\mbox{или}~BE=\frac{1}{x}.
Из параллельности BC
и ED
следует, что
\angle BDE=\angle CBD=30^{\circ},
поэтому
DE=\sqrt{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{x}.
По теореме Пифагора
AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}~\mbox{или}~\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{x}\right)^{2}=(1+x)^{2}\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x}=2x+x^{2}\Leftrightarrow~\frac{2(2x+x^{2})}{x^{3}}=2x+x^{2},
а так как 2x+x^{2}\ne0
, то x^{3}=2
. Следовательно,
AC=x=\sqrt[{3}]{{2}}.