11081. Окружность S
касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
в точках C_{1}
и B_{1}
, а также касается внутренним образом описанной окружности этого треугольника (полувписанная окружность). Касательные BM
и CN
к окружности S
(M
и N
— точки касания, отличные от C_{1}
и B_{1}
) пересекаются в точке K
. Докажите, что прямые BB_{1}
, CC_{1}
и AK
пересекаются в одной точке.
Решение. Прямые B_{1}M
, C_{1}N
и AK
пересекаются в некоторой точке T
, лежащей на прямой BC
(см. задачу 11079). По теореме синусов из треугольников CB_{1}T
и BNT
получаем, что
\frac{CT}{\sin\angle CB_{1}T}=\frac{B_{1}C}{\sin\angle CTB_{1}}~\mbox{и}~\frac{TB}{\sin\angle BMT}=\frac{BM}{\sin\angle BTM},
при этом
\sin\angle CTB_{1}=\sin\angle BTM,
\sin\angle CB_{1}T=\sin\angle TMK=\sin(180^{\circ}-\angle BMT)=\sin\angle BMT.
Значит, \frac{CT}{TB}=\frac{B_{1}C}{BM}
, а так как BM=BC_{1}
, то \frac{CT}{TB}=\frac{B_{1}C}{BC_{1}}
. Кроме того, AB_{1}=C_{1}A
, значит,
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CT}{TB}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=\frac{CT}{TB}\cdot\frac{BC_{1}}{B_{1}C}=\frac{B_{1}C}{BC_{1}}\cdot\frac{BC_{1}}{B_{1}C}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые BB_{1}
, CC_{1}
и AK
пересекаются в одной точке.
Примечание. См. статью А.Гирича «Несколько задач о треугольниках и окружностях», Квант, 1990, N11, с.46-48.