11082. Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника не меньше квадрата его полупериметра.
Решение. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— проведённые к ним медианы, p=\frac{a+b+c}{2}
— полупериметр треугольника. Тогда (см. задачу 4047)
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
поэтому
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\geqslant p^{2}~\Leftrightarrow~\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant\frac{(a+b+c)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geqslant2ab+2ac+2bc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}\geqslant0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0,
причём равенство достигается, когда a=b=c
, т. е. в случае равностороннего треугольника.