11101. Положительные числа x
, y
, z
удовлетворяют системе
\syst{x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{3}=25\\\frac{y^{2}}{3}+z^{2}=16\\z^{2}+zx+x^{2}=9.}
Найдите значение выражения xy+2yz+3xz
.
Ответ. 24\sqrt{3}
.
Решение. На катетах OB=\frac{y}{\sqrt{3}}
и OC=z
прямоугольного треугольника BOC
построим вне этого треугольника такие треугольники AOB
и AOC
, что OA=x
, \angle AOB=150^{\circ}
и \angle AOC=120^{\circ}
. Тогда по теореме Пифагора и по теореме косинусов
BC^{2}=\frac{y^{2}}{3}+z^{2}=16,~
AB^{2}=x^{2}+\frac{y^{2}}{3}-2x\cdot\frac{y}{\sqrt{3}}\cdot\cos150^{\circ}=x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{3}=25,
AC^{2}=x^{2}+z^{2}-2xz\cdot\cos120^{\circ}=z^{2}+zx+x^{2}=9.
Поскольку
BC^{2}+AC^{2}=16+9=25=AB^{2},
треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
. Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6.
Кроме того,
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}z\cdot\frac{y}{\sqrt{3}}=\frac{zy}{2\sqrt{3}},
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}x\cdot\frac{y}{\sqrt{3}}\cdot\sin150^{\circ}=\frac{xy}{4\sqrt{3}},
S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}xz\cdot\sin120^{\circ}=\frac{3xz}{4\sqrt{3}},
поэтому
6=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{xy}{4\sqrt{3}}+\frac{zy}{2\sqrt{3}}+\frac{3xz}{4\sqrt{3}}=
=\frac{xy+2zy+3xz}{4\sqrt{3}},
откуда
xy+2zy+3xz=6\cdot4\sqrt{3}=24\sqrt{3}.