11105. Из точки P
, лежащей на стороне AC
равностороннего треугольника ABC
, на стороны AB
и BC
опущены перпендикуляры PE
и PF
соответственно. Докажите, что центр треугольника ABC
, середина отрезка EF
и точка P
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть M
— центр равностороннего треугольника ABC
, AA_{1}
и CC_{1}
— медианы, N
— середина отрезка EF
. Обозначим \frac{AP}{CP}=\frac{m}{n}
. Тогда (см. задачу 4186)
\overrightarrow{MP}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{MA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{MC}=\frac{1}{m+n}(n\overrightarrow{MA}+m\overrightarrow{MC}).
Поскольку PF\parallel AA_{1}
, треугольник CPF
и CAA_{1}
подобны, поэтому
\overrightarrow{PF}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AA_{1}}=-\frac{n}{m+n}\cdot\frac{3}{2}\overrightarrow{MA}=-\frac{3n}{2(m+n)}\overrightarrow{MA}.
Аналогично \overrightarrow{PE}=-\frac{3m}{2(m+n)}\overrightarrow{MC}
. Значит (см. задачу 4500)
\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{PE})=\frac{1}{2}\left(-\frac{3n}{2(m+n)}\overrightarrow{MA}-\frac{3m}{2(m+n)}\overrightarrow{MC}\right)=
=-\frac{3}{4(m+n)}(n\overrightarrow{MA}+m\overrightarrow{MC})=-\frac{3}{4}\overrightarrow{MP},
т. е. векторы \overrightarrow{MP}
и \overrightarrow{PN}
коллинеарны. Следовательно, точки M
, N
и P
лежат на одной прямой.
Примечание. Доказано также, что MP:PM=4:3
при любом выборе точки M
на стороне AC
.