11106. На стороне AB
равностороннего треугольника ABC
отметили точку C_{1}
так, что AC_{1}:C_{1}B=1:2
, а на стороне AC
отметили точку B_{1}
так, что CC_{1}\perp BB_{1}
. Найдите отношение AB_{1}:B_{1}C
.
Ответ. 1:4
.
Решение. Обозначим AB=AC=BC=a
, B_{1}C=x
. Поскольку
\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA})
(см. задачу 4186) и
\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{CB_{1}}-\overrightarrow{CB},
а CC_{1}\perp BB_{1}
, то
0=\overrightarrow{CC_{1}}\cdot\overrightarrow{BB_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA})(\overrightarrow{CB_{1}}-\overrightarrow{CB})=
=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB_{1}}-\overrightarrow{CB}^{2}+2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB_{1}}-2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB})=
=\frac{1}{3}(ax\cos60^{\circ}-a^{2}+2ax-2a\cdot a\cos60^{\circ})=
=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}ax-a^{2}+2ax-a^{2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}ax-2a^{2}\right)=\frac{1}{6}a(5x-4a),
откуда B_{1}C=x=\frac{4}{5}a
. Тогда AB_{1}=\frac{1}{5}a
. Следовательно,
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{\frac{1}{5}a}{\frac{4}{5}a}=\frac{1}{4}.