11110. Вне равностороннего треугольника ABC
выбрали такую точку M
, что \angle AMB=120^{\circ}
, MA=1
, MB=2
. Найдите MC
.
Ответ. 3
Решение. При повороте вокруг вершины A
, переводящем вершину C
в B
, точка M
переходит в некоторую точку M_{1}
, а отрезок MB
— в отрезок M_{1}C
. При этом треугольник AMM_{1}
равносторонний, а треугольник AMB
переходит в равный ему треугольник AM_{1}C
. Тогда
\angle MM_{1}A=60^{\circ},~MM_{1}=AM=1,~M_{1}C=MB=2,~\angle AM_{1}C=\angle AMB=120^{\circ},~
\angle MM_{1}C=\angle MM_{1}A+\angle AM_{1}C=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, точки M
, M_{1}
и C
лежат на одной прямой, причём точка M_{1}
— между M
и C
. Следовательно,
MC=MM_{1}+M_{1}C=1+2=3.